1. Prove $\forall n \in \N, n\ge 1, (\exists c, 12^n-1 = 11c)$

这道题的思路是在 Inductive step 里面带入上一个数的值：把 $12^{n+1}$ 分成 $12^n \cdot 12$ 然后把 $12^n$ 替换成上一个数的值 $11c$

2. 证明可以用 L 型的三格方块加一个 1x1 方块占满 $2^n*2^n$ 的格子

这道题的主要思路是 $2^n*2^n$ 的格子里面可以放下四个 $2^{n-1} * 2^{n-1}$ 的正方形

Inductive Step 把 $n-1$ 的格子转一下，让三个 $2^{n-1} * 2^{n-1}$ 的正方形的空角面向中心，这样能再填一个 L 型的方块，然后把第四个正方形的空角面向外边，这样下一个 n 也可以这样转

3. Prove $\forall n \ge 4, (n^4\le 4^n)$

这道题和 HW3 1b 是一样的。

Inductive Step 思路是拆分然后把每一项高估/低估.

$(n+1)^4=n^4 + 4n^3+6n^2+4n+1\le 4n^4 \le 4^{n+1}$